Na física, tanto teórica quanto experimental, procuramos sempre modelos que se adequem aos fenômenos que estamos interessados em compreender ou que queremos prever. Um dos modelos mais utilizados é sem dúvida o do oscilador harmônico. Tal modelo tem uma equação relativamente simples e permite que descrevamos muito bem uma infinidade de fenômenos como, por exemplo, o movimento de um pêndulo, um sistema massa-mola, na qual a massa tem um movimento oscilatório, o propagação da luz, o movimento de qualquer tipo de onda, tal como as supostas ondas gravitacionais, a evolução de uma corrente elétrica no tempo, entre outros. Assim, talvez seja útil tentar descrever para os interessados, o tão usado oscilador harmônico (OH) e por fim mostrar alguns exemplos.
Com certeza existe muitos blogs e outros materiais na internet que falam sobre o OH, portanto, vamos tentar aqui fazer uma análise diferente. Primeiramente, o termo oscilador significa algo que, naturalmente, oscila; ao passo que harmônico significa algo que oscila harmonicamente, ou seja, periodicamente. Existem alguns tipos de osciladores harmônicos, tais como o OH simples (I), representando um sistema em que não existe forças de dissipação ou de injeção de energia no sistema; OH amortecido (II), descrevendo um sistema onde há alguma força de dissipação atuando sobre o sistema; OH forçado (III), modelando um sistema em que alguma força que injeta energia sobre o sistema está presente. No final mostramos alguns exemplos.
Vamos tratar o problema um pouco matematicamente. Suponha que você tenha um sistema descrito pela seguinte equação diferencial:
Esta é uma equação que caracteriza um oscilador harmônico simples. É uma equação vista em cursos de graduação, mas podemos tentar entendê-la aqui se, antes de mais nada, aprendermos a lê-la.
A equação acima é uma equação de segunda ordem, pois envolve uma derivada segunda de x(t). O que seria uma derivada segunda? É uma operação matemática cujo exemplo mais simples é o caso da posição de um carro. A derivada primeira em relação ao tempo da função descrevendo a posição do carro é a velocidade; a derivada segunda em relação ao tempo da mesma função descrevendo a posição do carro dará sua aceleração, ambas calculadas em um determinado valor de tempo. Basta saber aqui que derivadas são operações realizadas sobre funções. Além disso,
é a chamada frequência do movimento, e pode, por exemplo, ser a frequência de um pêndulo.
é a chamada frequência do movimento, e pode, por exemplo, ser a frequência de um pêndulo.
O que fazer agora? Bem, tendo uma equação diferencial que modela um determinado fenômeno, no caso da equação acima podendo ser o movimento de um pêndulo simples, o próximo passo é resolver tal equação diferencial para determinar o movimento que o sistema descreverá, ou seja, encontrar a função x(t). Em outras palavras, devemos encontrar uma função x(t) que satisfaça a equação diferencial acima.
Sem entrar em maiores detalhes matemáticos, uma das possíveis soluções é
.
Caso você não saiba derivar, isso não importa aqui, apenas saiba que a derivada primeira da função Seno é Cosseno, e que a derivada do Cosseno é - Seno. Assim, teremos:
Se você prestar atenção, verá que
.
Para sistemas mais complexos, tal como os casos (II) e (III), ter-se-á outras soluções, e as complicações matemáticas não vem ao caso aqui. Por fim, vamos dar alguns exemplos.
1) Um sistema massa-mola oscilando em uma dimensão, sem atrito.
x(t) é a posição da massa ;
é a frequência de oscilação, ambos em relação a origem.
é a frequência de oscilação, ambos em relação a origem.
2) Luz se propagando no vácuo:
O primeiro símbolo da esquerda representa derivadas em relação a posição, ou seja, x, y, e z; já o último representa derivada com relação ao tempo. Além disso,
é a velocidade da luz no vácuo, ou c.
Bom, espero ter despertado o interesse em procurar mais informações sobre o chamado oscilador harmônico. Este texto não é para ser auto-contido, muito longe disso. São apenas algumas equações e poucas palavras sobre o assunto, mas seria muito instrutivo o interessado procurar outros textos mais detalhados.
O link abaixo permite que você altere os parâmetros de um OH simples e veja a evolução temporal da posição, velocidade, e aceleração como funções do tempo, é bem interessante.
Você pode obter informações mais simples a respeito disso em:
Ou mais complexas:
Abraços!
As fórmulas não estão codificando.
ResponderExcluirAgora estão corrigidas!
ExcluirObrigado!