Um pouco sobre o oscilador harmônico

Na física, tanto teórica quanto experimental, procuramos sempre modelos que se adequem aos fenômenos que estamos interessados em compreender ou que queremos prever. Um dos modelos mais utilizados é sem dúvida o do oscilador harmônico. Tal modelo tem uma equação relativamente simples e permite que descrevamos muito bem uma infinidade de fenômenos como, por exemplo, o movimento de um pêndulo, um sistema massa-mola, na qual a massa tem um movimento oscilatório, o propagação da luz, o movimento de qualquer tipo de onda, tal como as supostas ondas gravitacionais, a evolução de uma corrente elétrica no tempo, entre outros. Assim, talvez seja útil tentar descrever para os interessados, o tão usado oscilador harmônico (OH) e por fim mostrar alguns exemplos.

Com certeza existe muitos blogs e outros materiais na internet que falam sobre o OH, portanto, vamos tentar aqui fazer uma análise diferente. Primeiramente, o termo oscilador significa algo que, naturalmente, oscila; ao passo que harmônico significa algo que oscila harmonicamente, ou seja, periodicamente. Existem alguns tipos de osciladores harmônicos, tais como o OH simples (I), representando um sistema em que não existe forças de dissipação ou de injeção de energia no sistema; OH amortecido (II), descrevendo um sistema onde há alguma força de dissipação atuando sobre o sistema; OH forçado (III), modelando um sistema em que alguma força que injeta energia sobre o sistema está presente. No final mostramos alguns exemplos.

Vamos tratar o problema um pouco matematicamente. Suponha que você tenha um sistema descrito pela seguinte equação diferencial:

Esta é uma equação que caracteriza um oscilador harmônico simples. É uma equação vista em cursos de graduação, mas podemos tentar entendê-la aqui se, antes de mais nada, aprendermos a lê-la.

A equação acima é uma equação de segunda ordem, pois envolve uma derivada segunda de x(t). O que seria uma derivada segunda? É uma operação matemática cujo exemplo mais simples é o caso da posição de um carro. A derivada primeira em relação ao tempo da função descrevendo a posição do carro é a velocidade; a derivada segunda em relação ao tempo da mesma função descrevendo a posição do carro dará sua aceleração, ambas calculadas em um determinado valor de tempo. Basta saber aqui que derivadas são operações realizadas sobre funções. Além disso,

 é a chamada frequência do movimento, e pode, por exemplo, ser a frequência de um pêndulo.

O que fazer agora? Bem, tendo uma equação diferencial que modela um determinado fenômeno, no caso da equação acima podendo ser o movimento de um pêndulo simples, o próximo passo é resolver tal equação diferencial para determinar o movimento que o sistema descreverá, ou seja, encontrar a função x(t). Em outras palavras, devemos encontrar uma função x(t) que satisfaça a equação diferencial acima.

Sem entrar em maiores detalhes matemáticos, uma das possíveis soluções é

.

Caso você não saiba derivar, isso não importa aqui, apenas saiba que a derivada primeira da função Seno é Cosseno, e que a derivada do Cosseno é - Seno. Assim, teremos:

Se você prestar atenção, verá que

é também uma solução daquela equação diferencial. Portanto, como as soluções são lineares, a solução geral da equação diferencial é a soma das duas soluções mostradas, ou seja:

.

As condições iniciais e de contorno do problema em questão é que deverão mostrar qual das funções é a que de fato descreve o fenômeno.

Para sistemas mais complexos, tal como os casos (II) e (III), ter-se-á outras soluções, e as complicações matemáticas não vem ao caso aqui. Por fim, vamos dar alguns exemplos.

1) Um sistema massa-mola oscilando em uma dimensão, sem atrito.

x(t) é a posição da massa ;

 é a frequência de oscilação, ambos em relação a origem.

2) Luz se propagando no vácuo:

O primeiro símbolo da esquerda representa derivadas em relação a posição, ou seja, x, y, e z; já o último representa derivada com relação ao tempo. Além disso,

 é a velocidade da luz no vácuo, ou c. 

Bom, espero ter despertado o interesse em procurar mais informações sobre o chamado oscilador harmônico. Este texto não é para ser auto-contido, muito longe disso. São apenas algumas equações e poucas palavras sobre o assunto, mas seria muito instrutivo o interessado procurar outros textos mais detalhados.

O link abaixo permite que você altere os parâmetros de um OH simples e veja a evolução temporal da posição, velocidade, e aceleração como funções do tempo, é bem interessante.

http://demonstrations.wolfram.com/MassOnASpringSimpleHarmonicOscillator/

Você pode obter informações mais simples a respeito disso em:

http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-harmonico-simples.htm

Ou mais complexas:

http://www.scielo.br/pdf/rbef/v29n4/a13v29n4.pdf

Abraços!

Comente aqui sobre a enquete "laboratório de Física na sua escola".

A gota da chuva e seu movimento em queda (não tão) livre

Nesta coluna, vamos discutir um pouco sobre a importância da chamada força de arrasto em alguns problemas de física, ou seja, ver se é ou não relevante considerar a resistência do ar em problemas reais de física, em particular, o movimento de queda (não exatamente livre) de uma gota de chuva.

Na resolução de problemas de física, no ensino médio e mesmo em nível universitário, normalmente se desconsidera a resistência do ar em qualquer tipo de movimento, e um objeto em queda, com seu movimento alterado pela resistência do ar, torna-se simplesmente um corpo qualquer em queda livre. Do lendário experimento realizado por Galileu, no qual ele lança um objeto leve (uma pena talvez) e um muito mais pesado, ao mesmo tempo, da Torre de Pisa, e nota que os dois são atraídos pela gravidade terrestre do mesmo modo, independente da massa dos objetos, e da igualdade entre massa inercial e massa gravitacional, sabemos que, para um corpo em queda livre, podemos facilmente determinar sua velocidade em qualquer ponto de sua trajetória. 

A gota d'água em queda livre

Usando o princípio de conservação de energia, para uma gota d'água que cai livremente, ou seja, sem a ação de qualquer tipo de resistência, temos que inicialmente (ao ser desprendida da nuvem) sua energia é apenas potencial gravitacional, ou seja, E = m g h, onde m é a massa da gota, g é a aceleração da gravidade, e h é a altura da nuvem em relação a superfície da Terra. Se quisermos saber a velocidade desta gota quando ela toca o solo, ela irá possuir apenas energia cinética, uma vez que a altura neste caso é zero. Portanto, ao tocar o solo, sua energia será E = (m v²)/2. Igualando as energias final e inicial, determinamos rapidamente a velocidade da gota ao tocar o solo, sendo v = (2 g h)^1/2, ou seja, é independente da massa da gota. 

Supondo que a nuvem esteja a 500 metros de altura em relação ao solo, a velocidade da gota ao tocar a superfície da Terra será aproximadamente 99m/s, ou seja, uma velocidade relativamente alta!

A força de arrasto do ar

Evidentemente que a gota não se movimenta em queda livre, pois o ar é um fluído que exerce uma resistência ao movimento desta gota. Esta força de arraste depende de diversas variáveis, tais como a densidade do fluído (ar, neste caso) e o formato do corpo em queda neste fluído, ou seja, é muito complexo determinar a força de arraste. Em termos gerais, a força de arraste é proporcional à velocidade do corpo ao quadrado, proporcional a área frontal do corpo em relação à direção de movimento, e à densidade do fluído. Matematicamente, podemos escrever a força de arrasto do ar como

F_a  = (c_a d A v²)/2

onde d é a densidade do fluído, v é a velocidade da gota d’água neste caso, e c_a é o chamado coeficiente de arrasto, uma constante de proporcionalidade entre a força e suas variáveis. Evidentemente, tanto o coeficiente de arrasto quanto a própria força são determinadas mais com aparatos experimentais do que teóricos, uma vez que as variáveis envolvidas dependem muito de outros fatores, até mesmo da temperatura do meio.

A força de arrasto então explica o porquê da gota da chuva não nos atingir com uma velocidade tão alta como a calculada no primeiro caso. Após a gota de desprender da nuvem e começar a cair, sua velocidade aumentará. Entretanto, chegará um momento em que a força peso da gota ficará igual em módulo à força de arrasto do ar. A partir deste ponto e por todo o resto do movimento, a gota terá um movimento com velocidade constante. Para determinarmos esta velocidade, chamada de velocidade terminal, basta igualarmos as duas forças:

Força peso = Força de arrasto

m g = (c_a d A v²)/2

v = (2 m g /c_a d A)^1/2

Como pode ser visto, a velocidade da gota não irá aumentar indefinidamente como no primeiro caso, quando a força de arraste não foi levada em conta. Caso você queira saber a velocidade terminal da gota da chuva, fica como exercício procurar os dados acima, estimando a massa e a área de uma gota. Fazendo isso, você poderá também obter mais conhecimento sobre o assunto. Por fim, devemos tirar como conclusão deste texto simples que é devido à força de arrasto do ar que a gota de chuva não é algo que nos causa dor, ou mesmo uma lesão no corpo, e sim, é algo inofensivo.

Para pensar um pouco: imagine um sistema totalmente fechado, isolado do ambiente externo. Neste sistema, existe apenas ar e uma bolinha presa a certa altura e que pode ser facilmente liberada através de um botão externo. Quando você aperta o botão, a bolinha então começa seu movimento em queda através do ar e, como vimos, atingirá uma velocidade terminal. Explique, em termos de entropia, o motivo pelo qual o ar não pode, além de deixar a bolinha com velocidade constante, também diminuir sua velocidade.

Nota: Um bom material de referência para ser consultado é o .pdf: http://www.if.ufrj.br/~sandra/Topicos/palestras/futebol2.pdf

Aulas particulares

Este post é sobre aulas particulares que ofereço. Para quem ler meu anúncio em algum meio de divulgação, poderá encontrar mais detalhes aqui e até mesmo minhas colunas que escrevo. Fique totalmente à vontade para ler e escrever críticas ou dúvidas!

Para quem é de São Carlos, as aulas são presenciais. Entretanto, ofereço aulas também para todo Brasil, usando o Skype. Basta entrar em contato para combinarmos o mais conveniente para o aluno. E lembre-se, o conhecimento é algo fundamental nesta vida. Abraço a todos!

Algumas dicas para resolver problemas em física

Problemas em física, como resolvê-los? Bem, existem diversos métodos de raciocínio para se resolver uma questão em física. Acho que uma das principais coisas é, claro, a organização do problema, dos dados que o enunciado fornece, o que pode ser muito útil em diversos casos. Outa coisa importante é entender o que de fato o enunciado está pedindo para encontrar. Você pode fazer inúmeras contas, mas se não souber o que está procurando, todas as contas serão inúteis e você certamente perderá tempo, principalmente se estiver em uma prova, tal como o vestibular.

Além dessas coisas, organização e saber o que está procurando, uma outra muito importante em física pode lhe ser útil ao resolver diversos problemas: as leis de conservação. Existem muitas leis de conservação em física, entretanto, irei falar um pouco sobre duas delas, as leis de conservação de energia e de momentum, que acredito seja essencial em qualquer problema de mecânica. Portanto se você é estudante do ensino médio, cursinho ou algo do tipo, este post e o próximo podem ser úteis para resolver problemas em física.

Vamos supor então que nos deparamos com um problema de mecânica, eletromagnetismo, ou algo parecido. A primeira coisa que devemos fazer é definir nosso sistema físico. Conservação de energia ou de momentum não tem o menor sentido se não definirmos muito bem qual o nosso sistema físico de estudo. Por exemplo: Se estamos analisando o movimento de um bloco em um plano inclinado, será adequado considerarmos nosso sistema físico como sendo o bloco + plano inclinado, e todo o resto passa a ser o ambiente, ou seja, não é interessante para nossos propósitos. Se queremos analisar o movimento de uma carga elétrica num campo elétrico uniforme, não é necessário nos preocuparmos com a fonte do campo elétrico e neste caso nosso sistema pode ser apenas a carga e o campo elétrico próximo a ela.

Resumindo: um sistema físico é aquilo que estamos interessados em estudar!

Bom, acho que irei parar por aqui. No próximo post eu continuo falando da conservação de energia e momentum num sistema físico. Portanto, vamos ficar aqui com algumas lições que são extremamente importantes para nos ajudar a resolver qualquer problema de física:

Ao lermos a questão, devemos organizar os dados que o enunciado nos fornece, sempre atento as unidades.    O próximo passo é saber exatamente o que queremos determinar, ou calcular. Contas sem sentido tomam tempo, e numa prova isto pode ser determinante para o sucesso. Além disso, devemos escolher qual o nosso sistema físico. A escolha do sistema físico, a princípio, é arbitrária, mas dependendo da escolha, pode simplificar muito o problema. 

Abraços!

Dica de livro

Por acaso você já leu o livro Alice no país do Quantum? Se sim, deixe aqui seu comentário sobre o que achou do livro, e se ele serviu de algum modo para clarear algum conceito de física quântica. 

Para aqueles que não leram, é uma boa oportunidade de aprender alguns conceitos básicos sobre esta área da física que tanto desperta curiosidade nas pessoas.

Abraços!!

Uma breve história do teorema trabalho-energia

Existem várias discussões em história da física sobre quem desenvolveu algo ou quando alguma coisa foi criada.  Por exemplo, um dos debates mais interessantes é sobre a autoria do cálculo diferencial e integral, se este é atribuído a Newton ou a Leibniz. Estas discussões felizmente fazem parte da física, devido aos meios de comunicação escassos de antigamente, algo que não acontece hoje em dia no desenvolvimento de algum material ou ideia.

É sobre uma pergunta que me fizeram estes dias que quero comentar aqui. Se o teorema trabalho-energia foi  desenvolvido antes das leis de Newton ou após estas. Pois bem, vamos ver resumidamente o que é este teorema trabalho-energia. Primeiro, o que é trabalho?

Considere uma partícula se movendo livremente e que em algum momento uma força atua sobre está partícula. Define-se o trabalho como o produto escalar entre a força aplicada sobre a partícula e o descolamento realizado por esta partícula. (Para quem souber o que é uma integral, lê-se "trabalho como sendo a integral do produto escalar...") Em termos simples, o produto escalar significa que o resultado do produto será máximo se a força e o descolamento estiverem na mesma direção e sentido e que será nulo se a força for perpendicular ao descolamento realizado pela partícula. Também é importante dizer que o trabalho possui a mesma unidade que energia. Para algo mais completo, veja aqui. 

Então, podemos formular o teorema trabalho-energia como: O trabalho realizado pela força resultante sobre uma partícula ou objeto é igual a variação de energia cinética desta partícula ou objeto. É um teorema simples, por exemplo: dada uma partícula em repouso, sua energia cinética inicial é igual a zero. Atuando uma força sobre está partícula, sua energia cinética deixará de ser zero e assumirá um dado valor. Portanto, neste caso, o trabalho exercido pela força é igual a energia cinética final da partícula.

Para se demostrar este teorema, usa-se, portanto, a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante que atua sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração. No entanto, seria possível também assumir o teorema trabalho-energia como dado e obter a segunda lei de Newton. A pergunta que temos é, então: Qual ideia surgiu primeiro, as leis de Newton ou o teorema trabalho-energia?

Procurando aqui e acolá, encontrei a resposta. Quem primeiro formulou o teorema trabalho-energia foi o conhecido matemático e engenheiro mecânico Gaspard de Coriolis (1792 - 1843) em sua tese, na qual ele definiu formalmente o trabalho realizado por uma força. Além disso, Jean Victor Poncelet, um engenheiro que invadiu a Russia com Napoleão foi o primeiro a demonstrar a aplicabilidade deste teorema em 1829. Portanto, sabemos que as leis de Newton foram formuladas por volta de 1687, e deste modo a formulação destas leis veio antes do teorema trabalho-energia.

Aqui está a fonte, aliás, um bom site para obter informações.

Abraços.