A gota da chuva e seu movimento em queda (não tão) livre

Nesta coluna, vamos discutir um pouco sobre a importância da chamada força de arrasto em alguns problemas de física, ou seja, ver se é ou não relevante considerar a resistência do ar em problemas reais de física, em particular, o movimento de queda (não exatamente livre) de uma gota de chuva.

Na resolução de problemas de física, no ensino médio e mesmo em nível universitário, normalmente se desconsidera a resistência do ar em qualquer tipo de movimento, e um objeto em queda, com seu movimento alterado pela resistência do ar, torna-se simplesmente um corpo qualquer em queda livre. Do lendário experimento realizado por Galileu, no qual ele lança um objeto leve (uma pena talvez) e um muito mais pesado, ao mesmo tempo, da Torre de Pisa, e nota que os dois são atraídos pela gravidade terrestre do mesmo modo, independente da massa dos objetos, e da igualdade entre massa inercial e massa gravitacional, sabemos que, para um corpo em queda livre, podemos facilmente determinar sua velocidade em qualquer ponto de sua trajetória. 

A gota d'água em queda livre

Usando o princípio de conservação de energia, para uma gota d'água que cai livremente, ou seja, sem a ação de qualquer tipo de resistência, temos que inicialmente (ao ser desprendida da nuvem) sua energia é apenas potencial gravitacional, ou seja, E = m g h, onde m é a massa da gota, g é a aceleração da gravidade, e h é a altura da nuvem em relação a superfície da Terra. Se quisermos saber a velocidade desta gota quando ela toca o solo, ela irá possuir apenas energia cinética, uma vez que a altura neste caso é zero. Portanto, ao tocar o solo, sua energia será E = (m v²)/2. Igualando as energias final e inicial, determinamos rapidamente a velocidade da gota ao tocar o solo, sendo v = (2 g h)^1/2, ou seja, é independente da massa da gota. 

Supondo que a nuvem esteja a 500 metros de altura em relação ao solo, a velocidade da gota ao tocar a superfície da Terra será aproximadamente 99m/s, ou seja, uma velocidade relativamente alta!

A força de arrasto do ar

Evidentemente que a gota não se movimenta em queda livre, pois o ar é um fluído que exerce uma resistência ao movimento desta gota. Esta força de arraste depende de diversas variáveis, tais como a densidade do fluído (ar, neste caso) e o formato do corpo em queda neste fluído, ou seja, é muito complexo determinar a força de arraste. Em termos gerais, a força de arraste é proporcional à velocidade do corpo ao quadrado, proporcional a área frontal do corpo em relação à direção de movimento, e à densidade do fluído. Matematicamente, podemos escrever a força de arrasto do ar como

F_a  = (c_a d A v²)/2

onde d é a densidade do fluído, v é a velocidade da gota d’água neste caso, e c_a é o chamado coeficiente de arrasto, uma constante de proporcionalidade entre a força e suas variáveis. Evidentemente, tanto o coeficiente de arrasto quanto a própria força são determinadas mais com aparatos experimentais do que teóricos, uma vez que as variáveis envolvidas dependem muito de outros fatores, até mesmo da temperatura do meio.

A força de arrasto então explica o porquê da gota da chuva não nos atingir com uma velocidade tão alta como a calculada no primeiro caso. Após a gota de desprender da nuvem e começar a cair, sua velocidade aumentará. Entretanto, chegará um momento em que a força peso da gota ficará igual em módulo à força de arrasto do ar. A partir deste ponto e por todo o resto do movimento, a gota terá um movimento com velocidade constante. Para determinarmos esta velocidade, chamada de velocidade terminal, basta igualarmos as duas forças:

Força peso = Força de arrasto

m g = (c_a d A v²)/2

v = (2 m g /c_a d A)^1/2

Como pode ser visto, a velocidade da gota não irá aumentar indefinidamente como no primeiro caso, quando a força de arraste não foi levada em conta. Caso você queira saber a velocidade terminal da gota da chuva, fica como exercício procurar os dados acima, estimando a massa e a área de uma gota. Fazendo isso, você poderá também obter mais conhecimento sobre o assunto. Por fim, devemos tirar como conclusão deste texto simples que é devido à força de arrasto do ar que a gota de chuva não é algo que nos causa dor, ou mesmo uma lesão no corpo, e sim, é algo inofensivo.

Para pensar um pouco: imagine um sistema totalmente fechado, isolado do ambiente externo. Neste sistema, existe apenas ar e uma bolinha presa a certa altura e que pode ser facilmente liberada através de um botão externo. Quando você aperta o botão, a bolinha então começa seu movimento em queda através do ar e, como vimos, atingirá uma velocidade terminal. Explique, em termos de entropia, o motivo pelo qual o ar não pode, além de deixar a bolinha com velocidade constante, também diminuir sua velocidade.

Nota: Um bom material de referência para ser consultado é o .pdf: http://www.if.ufrj.br/~sandra/Topicos/palestras/futebol2.pdf

Aulas particulares

Este post é sobre aulas particulares que ofereço. Para quem ler meu anúncio em algum meio de divulgação, poderá encontrar mais detalhes aqui e até mesmo minhas colunas que escrevo. Fique totalmente à vontade para ler e escrever críticas ou dúvidas!

Para quem é de São Carlos, as aulas são presenciais. Entretanto, ofereço aulas também para todo Brasil, usando o Skype. Basta entrar em contato para combinarmos o mais conveniente para o aluno. E lembre-se, o conhecimento é algo fundamental nesta vida. Abraço a todos!

Algumas dicas para resolver problemas em física

Problemas em física, como resolvê-los? Bem, existem diversos métodos de raciocínio para se resolver uma questão em física. Acho que uma das principais coisas é, claro, a organização do problema, dos dados que o enunciado fornece, o que pode ser muito útil em diversos casos. Outa coisa importante é entender o que de fato o enunciado está pedindo para encontrar. Você pode fazer inúmeras contas, mas se não souber o que está procurando, todas as contas serão inúteis e você certamente perderá tempo, principalmente se estiver em uma prova, tal como o vestibular.

Além dessas coisas, organização e saber o que está procurando, uma outra muito importante em física pode lhe ser útil ao resolver diversos problemas: as leis de conservação. Existem muitas leis de conservação em física, entretanto, irei falar um pouco sobre duas delas, as leis de conservação de energia e de momentum, que acredito seja essencial em qualquer problema de mecânica. Portanto se você é estudante do ensino médio, cursinho ou algo do tipo, este post e o próximo podem ser úteis para resolver problemas em física.

Vamos supor então que nos deparamos com um problema de mecânica, eletromagnetismo, ou algo parecido. A primeira coisa que devemos fazer é definir nosso sistema físico. Conservação de energia ou de momentum não tem o menor sentido se não definirmos muito bem qual o nosso sistema físico de estudo. Por exemplo: Se estamos analisando o movimento de um bloco em um plano inclinado, será adequado considerarmos nosso sistema físico como sendo o bloco + plano inclinado, e todo o resto passa a ser o ambiente, ou seja, não é interessante para nossos propósitos. Se queremos analisar o movimento de uma carga elétrica num campo elétrico uniforme, não é necessário nos preocuparmos com a fonte do campo elétrico e neste caso nosso sistema pode ser apenas a carga e o campo elétrico próximo a ela.

Resumindo: um sistema físico é aquilo que estamos interessados em estudar!

Bom, acho que irei parar por aqui. No próximo post eu continuo falando da conservação de energia e momentum num sistema físico. Portanto, vamos ficar aqui com algumas lições que são extremamente importantes para nos ajudar a resolver qualquer problema de física:

Ao lermos a questão, devemos organizar os dados que o enunciado nos fornece, sempre atento as unidades.    O próximo passo é saber exatamente o que queremos determinar, ou calcular. Contas sem sentido tomam tempo, e numa prova isto pode ser determinante para o sucesso. Além disso, devemos escolher qual o nosso sistema físico. A escolha do sistema físico, a princípio, é arbitrária, mas dependendo da escolha, pode simplificar muito o problema. 

Abraços!

Dica de livro

Por acaso você já leu o livro Alice no país do Quantum? Se sim, deixe aqui seu comentário sobre o que achou do livro, e se ele serviu de algum modo para clarear algum conceito de física quântica. 

Para aqueles que não leram, é uma boa oportunidade de aprender alguns conceitos básicos sobre esta área da física que tanto desperta curiosidade nas pessoas.

Abraços!!

Uma breve história do teorema trabalho-energia

Existem várias discussões em história da física sobre quem desenvolveu algo ou quando alguma coisa foi criada.  Por exemplo, um dos debates mais interessantes é sobre a autoria do cálculo diferencial e integral, se este é atribuído a Newton ou a Leibniz. Estas discussões felizmente fazem parte da física, devido aos meios de comunicação escassos de antigamente, algo que não acontece hoje em dia no desenvolvimento de algum material ou ideia.

É sobre uma pergunta que me fizeram estes dias que quero comentar aqui. Se o teorema trabalho-energia foi  desenvolvido antes das leis de Newton ou após estas. Pois bem, vamos ver resumidamente o que é este teorema trabalho-energia. Primeiro, o que é trabalho?

Considere uma partícula se movendo livremente e que em algum momento uma força atua sobre está partícula. Define-se o trabalho como o produto escalar entre a força aplicada sobre a partícula e o descolamento realizado por esta partícula. (Para quem souber o que é uma integral, lê-se "trabalho como sendo a integral do produto escalar...") Em termos simples, o produto escalar significa que o resultado do produto será máximo se a força e o descolamento estiverem na mesma direção e sentido e que será nulo se a força for perpendicular ao descolamento realizado pela partícula. Também é importante dizer que o trabalho possui a mesma unidade que energia. Para algo mais completo, veja aqui. 

Então, podemos formular o teorema trabalho-energia como: O trabalho realizado pela força resultante sobre uma partícula ou objeto é igual a variação de energia cinética desta partícula ou objeto. É um teorema simples, por exemplo: dada uma partícula em repouso, sua energia cinética inicial é igual a zero. Atuando uma força sobre está partícula, sua energia cinética deixará de ser zero e assumirá um dado valor. Portanto, neste caso, o trabalho exercido pela força é igual a energia cinética final da partícula.

Para se demostrar este teorema, usa-se, portanto, a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante que atua sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração. No entanto, seria possível também assumir o teorema trabalho-energia como dado e obter a segunda lei de Newton. A pergunta que temos é, então: Qual ideia surgiu primeiro, as leis de Newton ou o teorema trabalho-energia?

Procurando aqui e acolá, encontrei a resposta. Quem primeiro formulou o teorema trabalho-energia foi o conhecido matemático e engenheiro mecânico Gaspard de Coriolis (1792 - 1843) em sua tese, na qual ele definiu formalmente o trabalho realizado por uma força. Além disso, Jean Victor Poncelet, um engenheiro que invadiu a Russia com Napoleão foi o primeiro a demonstrar a aplicabilidade deste teorema em 1829. Portanto, sabemos que as leis de Newton foram formuladas por volta de 1687, e deste modo a formulação destas leis veio antes do teorema trabalho-energia.

Aqui está a fonte, aliás, um bom site para obter informações.

Abraços.

Um vídeo interessante sobre a maior obra científica brasileira. Só nós resta esperar que o projeto de fato fique pronto no prazo! E olha que nem irá sair tão caro. Vai ser mais barato do que a reforma do estádio do Maracanã!

Abraços!

A piada do cavalo esférico, a navalha de Ockhan e a física

Ok, muitos físicos ou estudantes de física sempre contam a mesma piada sobre o fazendeiro que tinha um cavalo doente e que, depois de contatar vários especialistas que não resolveram o problema do cavalo, decidiu chamar um físico para analisar a doença. O físico então faz suas anotações sobre o cavalo e vai embora, dizendo voltar quando tiver resolvido o problema. Após três meses, o físico retorna a fazenda. O fazendeiro,  animado por saber que o físico havia resolvido o problema, fica logo decepcionado após o físico dizer: Eu encontrei a resposta para o problema com o seu cavalo, porém só é válida para um cavalo esférico e se movendo sem atrito.

Particularmente, depois de muito tempo ainda acho a piada muito engraçada! rs

Mas isso é o que muitos físicos na realidade fazem: Simplificar ao máximo o problema para conseguir uma solução o mais simples possível. Na piada acima, por exemplo, e em muitos problemas de física que caem em vestibular, a resistência do ar é desprezada, devido a dois fatores. O primeiro é que quando temos o ar, temos um problema de fluídos, ou seja, temos um objeto se descolando por um dado fluído, e este tipo de problema é muito complicado matematicamente de ser resolvido. O outro fator é a comparação do problema resolvido com e sem a resistência do ar: o resultado é muito, mas muito parecido, em condições climáticas normais claro, o que torna então a opção sem o ar muito mais atraente do ponto de vista de entender os conceitos físicos por trás do fenômeno.

Vamos tentar entender melhor o segundo fator. Adicionando a resistência do ar ao problema não irá nos trazer ganho nenhum em termos de conceitos físicos, apenas muitas dificuldades matemáticas que os físicos tentam sempre evitar. Além disso, o resultado será aproximadamente o mesmo. Pois bem, existe um princípio lógico denominado Navalha de Occan (Ockham), e é muito utilizado em diversas áreas de conhecimento, em particular aqui, na física. O princípio da navalha de Occan diz que:

"A explicação de qualquer fenômeno deve assumir apenas as premissas estritamente necessárias para a explicação do mesmo e descartar toda e qualquer premissa que não vá alterar o resultado aparente do fenômeno observado."

Como nota histórica, o termo navalha de Occan é atribuído a Guilherme de Ockhan (1288 -- 1348), frade inglês e filósofo.

Na piada acima, a premissa desnecessária é levar em conta a resistência do ar. Embora pareça meio ingênuo, a navalha de Occan pode levar à simplificação de muitos problemas complicados em física. Vejamos um outro exemplo: Um objeto em formato qualquer em queda livre de uma altura h e pede-se o tempo de queda deste objeto. Quais são as premissas neste caso: O fato do corpo cair, devido a gravidade; a resistência devido ao ar, a geometria do corpo, a altura da queda livre, e mais outras, que não me lembro agora. Mas quais são as informações que devemos realmente levar em conta para resolver o problema? Bom, a geometria e a resistência do ar só irão complicar nossa vida, e então podemos considerá-las desnecessárias para ter uma noção do que irá acontecer neste fenômeno. Basta tomarmos então a gravidade e a altura, e teremos uma equação ou um conjunto de equações muito simples para calcular o tempo. Depois que temos a solução mais simples possível, podemos adicionar elementos tais que tornem nosso problema mais real. Este caminho é muito mais fácil matematicamente do que começar a resolver o problema com todas as informações possíveis.

É claro, a aplicação da navalha de Occan vai muito além do que isso na física e muito além em outras áreas, mas o que quis passar aqui foi apenas sua utilidade fundamental, ou seja, reduzir um problema muito complicado a uma forma muito mais simples do ponto de vista matemático. 

Vamos considerar um caso real: O sistema Sol, Terra, e Lua, e queremos entender o movimento e calcular as equações de movimento da Terra orbitando o Sol. Quais as informações realmente necessárias e quais aquelas que podem ser eliminadas usando a Navalha de Occan?

Abraços!

J. F.