09 de Outubro na Física

Olá,

Para os interessados por relatividade geral, ou simplesmente amantes da física, tomei a iniciativa de escrever um breve texto sobre o físico e astrônomo Karl Schwarzschild. Há exatos 139 anos, nascia umas das primeiras pessoas a obter soluções exatas das equações de Einstein da relatividade geral. 

Na época em que a teoria da relatividade geral foi desenvolvida, ela contava com uma série de previsões a serem feitas para comprovar sua validade. Entretanto, as observações cosmológicas da época não eram bastante aprimoradas de modo a quantificar bem os testes da relatividade geral. Os testes que poderiam ser feitos àquela época, eram testes em que deveriam ser considerados campos gravitacionais em nosso sistema solar, sendo que o Sol era o astro possuindo maior campo gravitacional. Então, era de interesse na época determinar soluções das equações de Einstein correspondentes ao campo gravitacional externo de um corpo  estático e esfericamente simétrico. O Sol, por exemplo, é uma ótima aproximação neste caso.

Este problema foi resolvido por Schwarzschild em 1916, somente alguns poucos meses após Einstein ter publicado seu artigo sobre as equações de campo no vácuo. Devido a seu pioneirismo e seu caráter relativamente simples, tal método de resolver as equações de Einstein neste caso particular ficou conhecido Solução de Schwarzschild. Hoje, qualquer livro de relatividade geral contém um capítulo dedicado a esta solução.

Embora bem resumido, espero ter ajudado de algum modo.

Abraços!

Singularidades na física

Recentemente comecei a estudar um livro de relatividade geral chamado "General Relativity", do autor Robert M. Wald. É um livro de relatividade avançado, pelo menos no meu ponto de vista. Comecei a lê-lo porque me interessei por um assunto no qual encontrei em um apêndice neste livro. Entretanto notei que existe um capítulo exclusivo para se tratar o assunto "Singularidades" na relatividade geral. E então pensei em escrever algo sobre este assunto, no qual deixo claro não ser um especialista, porém é uma consequência muito interessante da teoria da relatividade geral.

Primeiramente, o que é uma singularidade? O termo singularidade não se restringe apenas à teoria da relatividade, mas sim está presente em boa parte das teorias físicas. Basicamente, a singularidade representa uma certa configuração no qual a teoria em que estamos trabalhando não funciona muito bem, pelo menos do ponto de vista matemático. Dizemos também por singularidade como sendo uma estado do sistema no qual o senso comum não consegue compreender o que de fato está ocorrendo. Suponhamos, por exemplo, que temos uma certa quantidade de moléculas de ar dentro de um certo volume. Então é possível descrevermos esse sistema através de uma densidade igual a razão entre a quantidade de ar e o volume. Se mantivermos a quantidade de ar constante e começarmos a diminuir o volume no qual o ar está contido, naturalmente a densidade irá aumentar, e necessitaremos cada vez gastar uma quantidade de energia maior para diminuir o volume, pois o espaço entre as moléculas irá cada vez mais diminuir. Entretanto, fisicamente, poderemos continuar o processo de diminuir o volume até um certo limite, onde não teremos mais condições  de comprimir mais o volume de ar. Porém, matematicamente, podemos continuar o processo além desse limite. Suponhamos então que vamos diminuindo o volume de V para V/2, para V/4, e enfim, para V/1000. O denominador da densidade ficará muito pequeno e por fim tenderá a um valor muito próximo de zero. Quando isso acontecer, dizemos que temos uma singularidade, pois, além de não ser possível reproduzir este experimento no dia a dia, é um estado no qual dizemos que a densidade explode, ou seja, torna-se infinita. Este é, portanto, um exemplo de singularidade.

Bom, voltemos à teoria da relatividade. No contexto da relatividade geral, existe uma equação chamada equação de Einstein, que relaciona a distribuição de matéria no espaço-tempo (de um lado da equação) com a geometria deste espaço-tempo (do outro lado). Sendo assim, em completa analogia ao exemplo dado acima, o que caracteriza uma singularidade na teoria não é a quantidade de matéria em si aglomerada, mas a densidade desta quantidade de matéria no espaço-tempo. Embora a singularidade seja prevista pela teoria da relatividade geral e acarrete consequências interessantes à teoria, a existência de singularidades mostra que a teoria não está completamente adequada a todos fenômenos que se dispõe a explicar. Podemos citar dois casos importantes de singularidades na relatividade geral.

De acordo com observações da estrutura do universo, verifica-se que este está em expansão acelerada, ou resumidamente, em expansão. Por isso, o modelo mais simples de evolução do nosso universo sugere que se voltarmos no tempo, o universo irá diminuir, até que chegará um momento em que toda matéria estará concentrada em um único ponto, de modo que a densidade tornar-se-á infinita.

Outro exemplo é a existência de buracos negros, que são previstos pela teoria da relatividade geral e que são estruturas com densidade de matéria tão grande, dizendo-se infinita, que nem mesmo a luz pode escapar à sua atração gravitacional se passar há determinada distância do centro de um buraco negro.

Ambos os exemplos acarretam fenômenos físicos que fogem ao escopo exclusivo da relatividade geral e dizem respeito à mecânica quântica, a mecânica do "muito pequeno". Portanto, uma teoria relativística com características quânticas é necessária para talvez poder dar conta das singularidades. Muitos trabalhos mostram que para realizar a junção da relatividade com a mecânica quântica, a primeira teoria deve ser modificada.

Desculpe-me pelo tamanho do texto. Não consegui resumir mais.

Abraços!

É o tempo um parâmetro ou uma variável do sistema físico?

Há alguns dias atrás, durante uma revisão de alguns tópicos de física que estou estudando para poder me aprofundar em outros assuntos, me deparei com algo bem interessante e que gostaria de compartilhar com vocês, na forma de uma coluna. Trata-se da maneira de como o tempo é encarado nas teorias físicas, em particular, na mecânica newtoniana e nas relatividades especial e geral. 

Durante todo o desenvolvimento da mecânica newtoniana, desde Galileu até Newton, o tempo foi sempre tratado como um parâmetro. O que isso quer dizer? Bom, supomos que queremos descrever o movimento de um homem que caminha em linha reta. Neste caso, podemos descrever seu estado de movimento através de duas variáveis, a variável espaço, digamos x, e a variável velocidade, digamos v. O papel do tempo neste exemplo se resume apenas em ser um parâmetro de evolução do sistema, ou seja, à medida que começamos a cronometrar o tempo que o homem caminha, temos a noção de quanto ele andou e, portanto, de quanto nosso sistema evoluiu. Desse modo, dizemos que o tempo t evolui independentemente das variáveis x e v do sistema. De fato, este é um dos princípios implícitos na mecânica newtoniana: o tempo age de maneira absoluta e independente de qualquer variável associada ao sistema físico.

Antes de continuarmos, vamos tentar generalizar nosso exemplo anterior. Suponhamos agora que ao nosso homem caminhando seja permitido qualquer tipo de movimento, não somente em linha reta. A ele é permitido agachar, pular, ziguezaguear, qualquer opção de movimento. Então, generalizando nossas variáveis que descrevem o movimento do homem, temos que ele agora será caracterizado pelo conjunto de coordenadas espaciais (x, y, x) e as respectivas velocidades (v_x, v_y, v_z). Novamente, o tempo t aqui entra apenas como um parâmetro de evolução do nosso sistema físico, neste caso, o homem com movimentos livres.

Uma observação importante a se fazer é que o tempo é comumente usado como um parâmetro de evolução do sistema principalmente por questões históricas, que estão estritamente relacionadas ao desenvolvimento da mecânica newtoniana. Então, vamos tentar algo mais abstrato e ao invés de usar o tempo t como um parâmetro de evolução do sistema, vamos definir um parâmetro qualquer, digamos ϴ. Então, agora não mais t descreve a evolução do sistema, mas sim um novo parâmetro arbitrário ϴ. É claro, quando ϴ = t, reobtemos o problema como ele é encarado tradicionalmente. Além disso, vamos supor que agora o tempo t entre como uma variável em nosso sistema. Esse é basicamente o mecanismo que se usa para inserir o tempo em qualquer sistema físico como uma nova variável, É claro que estamos deixando de lado qualquer detalhe matemático.

Pois bem, embora a mecânica newtoniana trate o tempo como sendo um parâmetro, as teorias da relatividade especial e geral tratam o tempo como uma nova variável do sistema, usando um parâmetro ϴ qualquer como o parâmetro responsável pela evolução do sistema. Essa diferença de tratamento tem consequências que transcendem os objetivos desta coluna, porém vemos que existe uma diferença na construção das duas teorias. É possível, portanto, construir toda mecânica clássica (não relativística) concebendo o fato de que o tempo assume o papel de uma nova variável e incluimos um parâmetro qualquer de evolução do sistema. A consequência principal em se fazer isso é que iremos ter uma relação matemática entre a variável tempo e a energia do sistema. E de fato, quando se formula a mecânica quântica, surge uma relação entre essas duas quantidades.

Não sei o quanto essa coluna foi elucidativa, mas acredito que ela tenha mostrado que nem sempre o tempo é encarado como independente das coordenadas que se usa para caracterizar o sistema. A mecânica newtoniana é cheia de detalhes teóricos que foram construídos com base em experimentos ou ideias restritas à época. O conceito de tempo como um parâmetro independente talvez seja um deles.

Abraços e todo comentário é bem vindo!

O quão plano é um objeto?

O planeta Terra é plano? Essa pergunta há muito tempo já foi respondida e sabemos que não. Nesta coluna, vamos discutir de maneira leve algumas implicações sobre o fato de a Terra não ser plana. Antes de mais nada, devemos formular um modelo de planeta Terra de modo que possamos imaginá-lo ao longo do texto. Para todos os efeitos, vamos considerar a Terra como sendo perfeitamente esférica, sem nenhum tipo de elevações ou depressões em sua superfície.

Para você, que provavelmente esteja dentro de uma sala, com uma parede por perto, ou uma porta, ou mesmo o piso do seu quarto; olhe para estas coisas. Certamente se alguém perguntar a vocês qual a geometria destes objetos vocês dirão que eles possuem geometria plana. Ora, olhando para uma porta ela parece de fato plana! A parede também! Pois bem, peguemos uma pequena chapa de metal, de 1 metro de lado. Podemos facilmente fazer esta chapa ser plana, tal como a porta. Agora, digamos que queremos fazer uma chapa plana de metal que cubra metade da superfície da Terra, digamos o hemisfério sul. Será esta nova chapa metálica plana? Certamente não, pois sabemos há muito tempo que a Terra não é plana e sim possui uma geometria que se aproxima de uma esfera. Mas então por que a chapa de 1 metro de lado é plana e a outra, gigantesca, não é? Na verdade, ambas as chapas não são planas e sim curvas! A chapa maior é visivelmente curva, pois comparamos com a superfície da Terra. Por outro lado, podemos notar que a chapa menor é apenas um desprezível pedaço da chapa maior e, portanto, quando a comparamos com nossas dimensões de comprimento familiares, dizemos que ela é exatamente plana. Assim, dizer que um objeto possui geometria plana é meramente uma aproximação de uma geometria que se manifesta apenas em escala muito maior do que a que estamos acostumados.

Uma das principais consequências disso que acabamos de ver é que agora a menor distância entre dois pontos já não é uma reta, como às vezes pensamos, mas sim o que chamaremos aqui de geodésica. Portanto, define-se geodésica como sendo a menor distância entre dois pontos, independente da geometria que é considerada. Por exemplo, para viajarmos de São Paulo para Tóquio, a geodésica neste caso será parte de uma circunferência de raio R, onde R é o raio da Terra. Para pequenas distâncias, como de sua casa até a casa do vizinho, a geodésica pode ser aproximada por uma reta com ótimos resultados práticos e teóricos.

Por fim, fica a pergunta: Suponhamos que seja possível construir uma chama metálica cobrindo todo o hemisfério sul do planeta Terra, e como já vimos, saberíamos que esta chapa não seria plana. Pois bem, então construímos naves espaciais capazes de transportar esta chapa para o espaço, para muito longe do sistema solar, longe de qualquer corpo celeste de tamanho considerável. Finalmente, enviamos milhares de astronautas-funileiros até a chapa metálica com a finalidade de deixa-la de fato plana. Conseguiriam os astronautas-funileiros cumprir sua função com sucesso?

Abraço a todos!

Conceitos sobre escalares, vetores e tensores

Nesta coluna irei apresentar alguns conceitos básicos sobre três entidades matemáticas muito importantes na física, em especial na física teórica. São os chamados escalares, vetores e tensores. É claro que estudando apenas a matemática por si só é possível entender o significado destas três coisas. Entretanto, vou tentar mostrar alguns conceitos físicos e consequentemente algumas consequências importantes na física

Primeiramente, iremos falar sobre o mais trivial, ou seja, o escalar. O que seria um escalar, ou melhor, o que seria uma quantidade escalar na física. Antes de tentarmos entender o que é, vamos ver alguns exemplos de escalares que estamos acostumados a lidar. São quantidades escalares a massa, energia, momento de inercia, pressão, entre outras. Então, o que caracteriza uma determinada grandeza de modo que podemos chamá-la de uma quantidade escalar? Define-se como uma quantidade escalar uma quantidade tal que ela seja inalterada perante uma transformação de coordenadas inercial. Além disso, podemos, mais conceituadamente, chamar de quantidade escalar aquela que não apresente em suas propriedades qualquer indício de direção ou sentido. Tomemos a massa de um objeto como exemplo. A massa de uma pessoa não apresenta uma direção específica. A única forma de caracterizar a massa é através da sua magnitude, ou valor absoluto. O mesmo vale para os outros escalares citados como exemplos.

Bom, depois de termos uma noção sobre o que é uma quantidade escalar, nos perguntemos então o que seria uma quantidade vetorial. Exemplos em nosso cotidiano não faltam, como velocidade, aceleração, momento linear, momento angular. Qual a diferença então entre um escalar e um vetor? Bom, vamos antes dizer sobre a diferença óbvia, notável também no cotidiano. Um vetor não é caracterizado apenas por sua magnitude, mas sim também por uma direção e um sentido. Tomemos um carro como exemplo. A massa do carro é 500 Kg. Sua massa é um escalar, pois é caracterizada apenas pela magnitude, como já vimos. Porém a velocidade do carro não é caracterizada apenas pela magnitude. Ela possui uma direção e sentido, na verdade como já sabemos do dia-a-dia. O mesmo vale para os outros exemplos dados. 

Finalmente, vamos ao tensor. O que seria um tensor? Bom, com o entendimento que estamos querendo ter, seria plausível dizer que no nosso cotidiano não existe nenhum exemplo de tensores. Porém essa afirmação está errada. De forma mais formal, os tensores são generalizações dos vetores e escalares. Caracterizamos essa generalização através da "ordem". Assim, um escalar é definido formalmente como sendo um tensor de ordem 0 (zero). Por sua vez, um vetor é definido como sendo um tensor de ordem 1 (um). Assim, qualquer outro elemento que seja de ordem superior é chamado de tensor de ordem n.

Uma forma conveniente de se expressar os tensores é através de matrizes. Assim, para um escalar, tensor de ordem zero, ele é simplesmente expresso por um número. Já para um vetor, tensor de ordem um, ele é expresso através de uma matriz coluna ou uma matriz linha. Já um tensor de ordem igual ou superior a dois, digamos n, pode ser expresso através de uma matriz de ordem n x n. Existem muitos tensores de ordem dois importantes na física. Um deles sem dúvida é o tensor métrico. O tensor métrico define a geometria do espaço-tempo do universo. Por exemplo, para um universo plano, homogêneo, isotrópico e estático, a métrica pode ser escrita na forma matricial como mostrada abaixo. 

O fato de ser uma métrica para um universo homogêneo e isotrópico é representado por não haver temos  diferentes de zero fora da diagonal principal da matriz.

Bom, espero que com essa coluna tenha conseguido adicionar algumas noções sobre escalares, vetores e tensores de forma geral, para qualquer pessoa em qualquer nível. 

O bóson de Higgs e a crise econômica

          Hoje tivemos uma das notícias mais importantes de toda a semana, ou talvez de todo o ano até agora: a de que o CERN poderia ter finalmente detectado a partícula conhecida como bóson de Higgs. De fato a partícula é muito importante na física básica, ou seja, na física fundamental, pois ela faz parte de um quebra cabeças nas teorias de física de partículas e cosmológica. Toda teoria que constitui a física de partículas já é um quebra cabeças por si só. Então quando consequências da física de partículas são levadas ao nível da cosmologia, daí tais coisas ganham novas proporções, pois começamos a discutir sobre a origem do universo, ou pelo menos, os instantes imediatamente iniciais à sua criação.

         Entretanto, escrever mais uma coluna falando sobre a possível detecção desta partícula seria uma coisa tediosa e enjoativa, pois todos os sites e meios de comunicação estão escrevendo sobre tal fato, muito provavelmente em um nível crítico melhor do que eu poderia escrever. Sendo assim, também vale a pena dizer que sou formado em física e não em economia ou nada relacionado às áreas de relações econômicas. Mas, tomo a liberdade de discutir brevemente sobre as implicações da detecção ou não do bóson de Higgs em meio a crise econômica que assola a Europa nestes últimos meses (ou anos).

              Para a construção do LHC, o conjunto formado por um anel e diversos detectores no CERN, cujo objetivo principal é obviamente a detecção do bóson de Higgs, foram gastos aproximadamente 8 bilhões de dólares. Não é pouco dinheiro, certo? Deve ser ressaltado também que quando o LCH começou a ser construído não havia crise e quando a obra foi terminada, a crise econômica também não havia dados sinais fortes que hoje presenciamos. Juntamente a isto, a aprovação de projetos científicos financiados com dinheiro do estado não é nada fácil. Existe toda uma burocracia, bastando por exemplo vermos como funciona o mesmo procedimento aqui no Brasil. Ainda mais se tratando de um experimento com fins a curto prazo puramente teóricos. Por exemplo: uma entidade de fomento federal escolheria pagar 100 milhões de Reais para um projeto de prevenção do câncer ou para detectar uma variação de 0.001% na temperatura da Radiação Cósmica de Fundo? Obviamente que financiaria o primeiro projeto. Agora quando falamos em 8 bilhões de dólares a coisa é ainda mais séria. 

           Hoje o CERN é financiado por diversos países, sendo que muito deles estão sofrendo efeitos da crise econômica. Além disso, já faz alguns anos que o LHC disse estar apto a detectar tal partícula e não o fez. Ora, hoje recebemos a possibilidade de uma notícia boa (embora o título das notícias sejam totalmente diferentes do texto). Tal notícia deverá ser averiguada nas próximas semanas, por outros cientistas. Junta-se a isso, a falsa detecção de neutrinos mais rápidos que a luz anunciada meses atrás. Não tiro o mérito do CERN ou do LHC, pois para suas construções foram agregados muitos outros conhecimentos tecnológicos. Acontece que, em meio a uma crise profunda econômica, pode acontecer que alguns governos resolvam diminuir ou até mesmo parar de financiar seus cientistas no CERN caso apenas falsos alarmes de detecções continuem a acontecer.

               Por outro lado, se a detecção hoje anunciada for comprovadamente verdadeira, os cientistas terão um bom motivo para justificar todo dinheiro gasto e às vezes até mais a se gastar em futuros experimentos. Portanto, acredito que do ponto de vista econômico, a detecção do bóson de Higgs seria extremamente agradável. Porém, na minha opinião, a comprovação da não existência do bóson de Higgs seria mito mais proveitoso para a física teórica básica, pois propiciaria novos pensamentos a respeito da física de partículas e sobre a física durante os estágios iniciais de evolução do universo. 

Redefinindo unidades

Em física, existem várias constantes fundamentais. Essas constantes recebem este adjetivo, pois, diante de diversas teorias existentes, como a teoria da relatividade especial, teoria quântica, entre outras, os valores de tais constantes são inalterados, recebendo às vezes o nome de “constantes da natureza”. Dentre elas, que são muitas, estão a velocidade da luz no vácuo e a chamada constante de Planck. Nesta coluna, não iremos ver como surgiram tais valores, mas sim o motivo pelo qual em muitos trabalhos acadêmicos, o valor dessas duas constantes é assumido ser a unidade, ou seja, c = ħ = 1.

            A primeira delas é a velocidade da luz no vácuo, representada por c. Da teoria da relatividade especial sabe-se que esta é uma velocidade limite para qualquer corpo ou partícula no vácuo, ou, a velocidade de qualquer partícula sem massa no vácuo, como o fóton. Comparando com velocidades que estamos acostumados diariamente, a velocidade da luz é muito grande, até mesmo quando comparada com a velocidade de translação da Terra em torno do Sol. Por causa disso, quando se escreve trabalhos acadêmicos em física, principalmente em física teórica, sobre assuntos em que a relatividade especial é muito utilizada, é comum definir a velocidade da luz no vácuo como sendo 1, c = 1. Isso significa que o trabalho está sendo baseado em um sistema de unidades em que a velocidade da luz é tomada como base, ou padrão, de modo que ela não seja exageradamente grande comparada às outras, mas sim que seja uma velocidade normal em relação aos eventos que ocorrem dentro daquele assunto.

            Por outro lado, da mecânica quântica surgiu outra constante fundamental, a constante de Planck, h, ou como é mais comum, ħ, que é a constante de Planck dividida por 2π. Essa constante representa o muito pequeno e, de maneira análoga, quando estamos redefinindo ħ = 1 em trabalhos científicos em que se usa muito a mecânica quântica, isto significa que estamos trabalhando em um sistema de unidades em que os eventos padrões são aqueles da mecânica quântica, e não os que estamos habituados a observar.

            Em geral, é muito comum usar essa escolha de unidades em trabalhos científicos de cosmologia, onde fenômenos quânticos e relativísticos estão presentes ao mesmo tempo. Além disso, definir essas duas constantes para a unidade também facilita muito a manipulação das equações, pois evita que sempre tenhamos que escrever c, ou ħ. Em última análise, estas escolhas são apenas “renormalizações” das unidades. No fim das contas, é o que fazemos com a massa, por exemplo, pois é muito mais comum usarmos 1 kg do que 1g, uma vez que 1grama é um valor muito pequeno quando comparado com nossos valores de massas usadas no dia a dia.

           

Nota: Uma discussão interessante sobre sistema de unidades em física pode ser apreciada nas primeiras páginas do livro Física Básica, do autor David Halliday, o qual é um livro usado por muitos cursos de graduação no primeiro ano. Entretanto, essa pequena coluna foi motivada pela leitura do livro: Cosmology, Fusion & Other Matters, um apanhado de notas de vários físicos e cosmólogos sobre diversos aspectos da física, em particular sobre cosmologia.

Existe outra vantagem teórica em escrever c = ħ  =1. Geralmente, os físicos teóricos costumam reduzir ao máximo o número de unidades usadas em trabalhos. Normalmente se usa as unidades Comprimento, Massa, e Tempo. Escrevendo as constantes com dito acima, é possível escrever qualquer grandeza física em termos da unidade comprimento (L), por exemplo: a unidade de massa passa a ser L^-1, de frequência L^-1, de campo elétrico L^-2, e assim por diante. Notoriamente, isso torna os cálculos muito mais práticos.