Utilizando Arduino para visualizar oscilações num pêndulo acoplado

Darei início a uma seção no blog de textos escritos por autores convidados. Esta coluna foi escrita por André Melzi, aluno de doutorado em Física pela Universidade Federal de São Carlos. Sua pesquisa de doutorado consiste em simular transporte eletrônico em redes de nanofios.

Em toda a natureza é possível encontrar sistemas onde ocorrem interações. Tanto nas ciências naturais como nas ciências sociais observam-se fenômenos que são influenciados por algum tipo de acoplamento. Essas oscilações acopladas podem apresentar comportamentos bastante interessantes.

Neste post será apresentada uma maneira simples de estudar as oscilações num sistema composto por dois pêndulos acoplados entre si por meio de uma mola. O objetivo do texto não é descrever com detalhes as equações que regem o seu movimento mas fornecer uma forma qualitativa de estudá-lo.

Para isso, será utilizado o Arduino que é uma plataforma aberta (open source) cuja finalidade é facilitar o desenvolvimento de projetos relacionados à eletrônica. O Arduino foi criado em 2005 na Itália e desde então tem sido utilizado em projetos nas mais variadas áreas. A plataforma conta com uma placa de prototipagem e com uma interface de desenvolvimento que permite programar o hardware para ler sensores, acender LEDs, controlar motores e etc. Na figura abaixo é possível observar uma placa do Arduino Uno, versão mais popular atualmente.

O sistema em questão está representado esquematicamente na figura abaixo. Nela é possível observar dois pêndulos simples com hastes de tamanho l e com duas massas m presas nas suas extremidades conectadas por uma mola de constante elástica k e comprimento d igual a distância de equilíbrio dos pêndulos. Para realizar o experimento, foi montada uma estrutura de madeira onde foram fixados os pêndulos. O Arduino foi utilizado para realizar a medida do deslocamento angular dos pêndulos. Para que isso fosse possível, foram utilizados dois potenciômetros de 1KΩ que serviram como eixos. A medida que os pêndulos oscilam, o eixo do potenciômetro gira e fornece um sinal para o Arduino. Para gerar a representação gráfica das oscilações foi utilizado o Processing, que também é um software open source que pode ser facilmente integrado com o Arduino para criar ambientes visuais com desenhos e formas geométricas. Nesse software, os sinais captados pelo Arduino são transformados em linhas contínuas, uma para cada pêndulo, que representam as oscilações.

Com o aparato descrito acima, é possível observar o fenômeno de batimento que é originado devido ao acoplamento entre os pêndulos. Nessa situação, os pêndulos oscilam harmonicamente e suas amplitudes são moduladas, também de forma harmônica, mas com uma frequência menor. Além disso, por meio do gráfico gerado no Processing, é possível observar uma diferença de fase entre as oscilações, o que significa que quando a amplitude de um pêndulo é máxima, a do outro é nula.

O vídeo abaixo mostra todo o sistema em funcionamento. Nele é possível observar o pêndulo executando as oscilações, o Arduino realizando a aquisição dos dados e os gráficos sendo gerados em tempo real no computador. O código fonte utilizado nesse experimento será disponibilizado em breve.

Assim, esperamos ter fornecido uma forma simples de se realizar um experimento de física onde podem ser visualizados fenômenos interessantes, utilizando, para isso, materiais de baixo custo e uma ferramenta bastante versátil que é o Arduino.

Referências

www.arduino.cc

www.processing.org

www.brasilescola.com/fisica/movimento-harmonico-simples.htm

Um pouco sobre a história da natureza dos raios-x

Quando quebramos algum osso do corpo, normalmente o médico pede um "raio-x" da parte quebrada para ver qual o estado da fratura. Fazer um "raio-x", como normalmente se diz, é extremamente comum hoje em dia. Mas qual será a história deste mecanismo que utilizamos tanto atualmente? Este texto tem como objetivo não necessariamente discutir o primeiro experimento que levou ao desenvolvimento dos raios-x, mas sim a discussão que se seguiu após sua descoberta com a intenção de se entender a natureza destes raios. Esta discussão foi quase completamente extraída da primeira referência citada abaixo.

A letra "x", em raios-x, representa o mistério da origem e natureza desses raios quando foram descobertos pela primeira vez em 1895 pelo físico alemão Wilhelm Rontgen. Para produzir tais raios, é necessário um aparato como mostrado na figura abaixo.

Um filamento de tungstênio é aquecido através de uma corrente elétrica, levando a uma emissão de um fluxo de elétrons deste material. Ao incidir sobre um alvo, os elétrons desaceleram, perdendo assim energia. Esta energia emitida pelos elétrons são os chamados raios-x.  Basicamente os raios-x são influenciados por duas causas, sua desaceleração frente ao impacto com o alvo, e o material de que é feito o próprio alvo. Assim, se estivermos interessados em construir um gráfico da intensidade dos raios-x como função do comprimento de onda desses raios, obteremos uma curva chamada espectro de energia do raio-x. Esta curva é devida a desaceleração dos elétrons, o que, portanto, independe do material do alvo, e também devido ao material do alvo, o que então resulta em uma curva característica para cada alvo.

Voltando ao tema principal do texto, a descoberta do raio-x havia sido feita e a questão de sua natureza foi amplamente discutida desde o início. Vale então mencionar que alguns cientistas pensaram que estes raios eram vibrações longitudinais no "éter", pois a ideia do éter como meio que permeava todo espaço ainda não havia sido completamente descartada. Ora, isso era um indicativo de que alguns pensavam que a natureza do raio-x era corpuscular. Por outro lado, outros físicos suspeitavam de que os raios fossem ondas transversais análogas à luz e, portanto, a natureza do raio-x seria ondulatória. 

O experimento chave que demonstrou o caráter ondulatório dos raios-x foi idealizado por Max von Laue e realizado por Walter Friedrich e Paul Knipping em 1912. Ondas, diferentemente de partículas, são caracterizadas pelo fenômeno de interferência, consequência direta do princípio da superposição. Desde modo, um experimento que utiliza dois seguimentos de raios-x e tivesse como consequência um padrão de interferência, serviria como prova de que os raios-x são ondas, tal como a luz.

O que estes cientistas fizeram foi usar a teoria de sólidos conhecida na época para estudar os raios-x. Já em 1850, Bravais introduziu na cristalografia a teoria de que os átomos em cristais são organizados em uma rede espacial. Assim, Laue supôs que se os raios descobertos por Rontgen fossem constituídos por ondas eletromagnéticas, então era esperado que ao ser incidido por ondas eletromagnéticas, os átomos dos cristais iriam adquirir certa quantidade de energia e então vibrar, e deste modo a estrutura de rede iria dar origem ao fenômeno de interferência. A figura abaixo mostra uma ilustração de raios-x incidindo sobre um arranjo cristalino e o posterior raio emergente, após o fenômeno de interferência. "lambda" é o comprimento de onda do raio-x, "theta" ângulo incidente e "d" a distância entre os planos cristalinos.

No experimento realizado em 1912, os raios-x eram incididos em um cristal, no caso sulfato de zinco. Os raios emergentes deste cristal incidiam em placas localizadas a diferentes distâncias do cristal. Se a suposição de que os raios-x fossem ondas eletromagnéticas estivesse correta um padrão de interferência seria formado nas placas, ou seja, um máximo central, seguido por máximos secundários seria observado. Após refinar o experimento, o resultado obtido foi a figura abaixo.

Ou seja, um padrão claramente de interferência, confirmando, portanto, o caráter ondulatório dos raios-x! Laue formulou algumas equações objetivando localizar os máximos de interferência. Entretanto, sua análise estava ligeiramente incorreta e um entendimento conclusivo foi dado por Bragg, que propôs que os raios-x incidentes eram compostos por uma distribuição continua de comprimentos de onda, e que os máximos eram produzidos por interferência, não dos átomos individuais (como sugeriu Laue), mas sim de feixes refletidos que incidiam sobre os diversos planos paralelos que formavam a rede cristalina. 

Portanto, ficou evidenciado através deste experimento que os raios-x são ondas eletromagnéticas. Obviamente, a explicação do efeito fotoelétrico por Eistein de que ondas eletromagnéticas possuem também um caráter corpuscular, abrange a natureza dos raios-x.

Vale mencionar que a descoberta dos raios-x conferiu a Rontgen o prêmio Nobel de física em 1901. Além disso, Laue foi ganhador do prêmio Nobel de física em 1914 pela descoberta da difração de raios-x em cristais.

Referências:

Livro: Landmark Experiments in Twentieth Century Physics, George L. Trigg, Ed. Dover (1975)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/fismod/mod05/m_s01.html

http://www.materia.coppe.ufrj.br/sarra/artigos/artigo11078/ (extraída a segunda figura)

http://cen.xraycrystals.org/introduction.html (extraída a terceira figura)

5 de abril: Sergey Alekseevich Chaplygin

O dia 5 de abril marca a data de nascimento de um físico e matemático que, embora não muito conhecido, deu grandes contribuições ao estudo do movimento descontínuo de líquidos e também sobre gases movendo-se com velocidades próximas a velocidade do som. Seu nome é Sergey Alekseevich Chaplygin, nascido em 5 de abril de 1869, em Ranenburg, agora renomeada como Chaplygin, na Rússia.

Chaplygin teve em sua infância sempre um bom estímulo aos estudos, o que o levou a adquirir um alto grau de conhecimento em uma época em que grande parte da Rússia era agrária. Graduou-se em física e matemática em 1890 na Universidade de Moscou, e seu principal interesse de estudo era a mecânica. Seu primeiro trabalho foi sobre hidrodinâmica, concentrando-se na mecânica de líquidos e gases, cujo título foi On certain cases of the motion of a solid body in a fluid.

Uma de suas maiores contribuições ao estudo da hidrodinâmica foi sua pesquisa que lhe concedeu o títul de Doutor em física, em 1902, cujo artigo era intitulado On gas streams. Neste trabalho Chaplygin obtém soluções exatas para diversos casos de um fluxo descontínuo de um gás compressível. Vale lembrar que nesta época praticamente não se tinha aplicações para o estudo sobre aerodinâmica. Porém sua tese de doutorado foi um ponto de partida para os especialistas pouco tempo depois quando o estudo de correntes de gás em velocidades próximas a do som começaram a ser feitos com o objetivo de se estudar a aerodinâmica dos primeiros aviões da história. Após 1910, Chaplygin concentrou-se no estudo da hidrodinâmica aplicada a asas de aviões. Seu artigo reunindo estes resultados intitulava-se On the pressure exerted by a plane-parallel flow on an obstructing body.

Talvez um de seus últimos importantes trabalhos tenha sido Theory of cascaded airfoils, publicado em 1914, onde ele apresenta as bases teóricas para o estudo do design de turbinas, hélices e outros instrumentos hidráulicos. Após uma hemorragia no cérebro, Chaplygin morreu no dia 8 de outubro de 1942, em Novosibirsk, então União Soviética.

Prêmios e reconhecimento

Chaplygin recebeu diversos prêmios ao longo de sua vida profissional. Todavia, talvez o que mais chama a atenção foi que em 1942 a Academia de ciências da União Soviéica criou o prêmio Chaplygin, para os melhores trabalhos no campo da mecânica.

Além disso, como já mencionado, sua cidade natal teve seu nome alterado de Ranenburg para Chaplygin.

Por fim, o que deixa o nome deste físico gravado na história da ciência para sempre é que em cosmologia, existe um modelo teórico de um gás responsável pela expansão do universo e a este dá-se o nome de Gás de Chaplygin, claramente em homenagem a suas contribuições ao estudo do movimento de gases e fluídos em geral.

Você pode ler mais sobre este cientista e o famoso gás de Chaplygin em:

 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Chaplygin.html;

http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0202064v2.pdf;

http://arxiv.org/pdf/1211.3518v1.pdf.

Genealogia matemática

Recentemente descobri um site muito interessante e gostaria de compartilhar aqui. Acredito que todas as pessoas que se interessam por ciência tem algum físico ou matemático favorito. Não seria interessante poder saber a genealogia profissional desta pessoa? Pois é! 

O site http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/index.php faz exatamente isto!

Você faz a busca de um físico, por exemplo, Heisenberg. O site então fornece quem foi o orientador deste cientista, o título de sua tese e quais foram seus alunos de doutorado! E você pode ir fazendo uma busca "de volta no tempo" para saber até onde vai a árvore genealógica matemática de algum cientista. Vale a pena passar um tempo no site!

Abraços!

14 de dezembro: Tycho Brahe

Hoje, 14 de dezembro, foi o dia do nascimento do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, em 1546.

Sua principal contribuição para a ciência foi as precisas medidas feitas em um observatório-ilha cedido a ele pelo rei da Dinamarca, em 1576.

Ao longo de 20 anos, Brahe realizou observações astronômicas que mais tarde foram extretamente úteis para Johames Kepler formular suas três leis, conhecidas como leis de Kepler, que explicam os movimento dos planetas, incluindo o fato de que suas órbitas são elípticas, e não circulares.

Outra curiosidade sobre Brahe é o fato de que ele perdeu seu nariz em um duelo, devido a sua personaldiade forte, usando portanto uma prótese de metal.

Tycho Brahe morreu em Praga, no dia 24 de outubro de 1601.

Explicando a Física por trás do filme Interestelar - Parte II

No texto anterior mostramos brevemente os principais motivos que levaram ao desenvolvimento da teoria da relatividade especial (TRE) e seus dois postulados em que toda teoria se baseia. Vale lembrar que o segundo postulado, que afirma que a luz tem a mesma velocidade independente da velocidade da fonte, exclui a possibilidade de um espaço em repouso absoluto. Neste texto vamos nos focar no principal efeito da relatividade especial apresentado no filme Interestelar e apresentar as motivações para o desenvolvimento da teoria da relatividade geral (TRG).

Um efeito relativístico que está presente durante todo o filme é diferença na passagem do tempo para os astronautas e para as pessoas que ficaram na Terra. Para entendermos este efeito, que é chamado Dilatação do tempo, vamos considerar dois referenciais inerciais, R e R’, e assumir que R’ está se afastando de R com uma velocidade muito grande, próxima à velocidade da luz, c. No filme, R é a Terra e R’ a nave espacial, mas poderia ser quaisquer outros dois objetos. O que a teoria da relatividade especial diz a respeito deste problema físico? A teoria afirma que o intervalo de tempo em R’ para a realização de um evento será menor do que quando medido por um observador em R. Antes de levarmos esta afirmação para o filme Interestelar, vamos entender o fenômeno do ponto de vista da teoria.

Vamos supor que temos um marcador de tempo em R' que funcione como na figura abaixo, ou seja, temos um emissor/receptor de luz e um espelho. 

Emitimos um feixe de luz, este reflete no espelho e volta ao receptor. A duração deste evento será nossa unidade de tempo, em analogia ao segundo, que usamos normalmente nos relógios. O intervalo de tempo para a realização deste evento será denotada por 

                                                                                                                                           

e, usando a definição de velocidade média, temos que

sendo D distância entre o emissor e o espelho e c a velocidade da luz. Assumimos também que R’ está se afastando de R com uma velocidade u. Por outro lado, se analisarmos o mesmo evento, a emissão, reflexão e recepção do feixe de luz, a partir do referencial R, iremos ter outra impressão dos fatos, ou seja, iremos ver algo como representado na a seguir.

 Neste caso o emissor está em movimento em relação ao observador, com velocidade u, e o tempo medido entre a emissão e recepção da luz, medido em R, será chamado de 

                                                                        

Sem entrar em detalhes matemáticos, os dois intervalos de tempo podem ser relacionados aplicando o teorema de Pitágoras à última figulra, e temos:

Notamos que quando R’ está parado em relação a R, ou seja u = 0, temos que 

 Por outro lado, se u = 0.9c, por exemplo, teremos que 

Deste modo o observador em R medirá um intervalo de tempo maior do que o medido pelo observador em R’, concluindo assim que o relógio em R’ é mais lento. O fato quer multiplica o intervalo de tempo no referencial R' é chamado fator de Lorentz e é obtido formalmente no desenvolvimento da teoria. Aqui usamos apenas uma ilustração para chegar no mesmo fator.

Como dito, este é um fenômeno que acompanha todo o filme. A nave espacial viaja a uma velocidade muito grande, com propulsores especiais, e a viagem leva um longo período de tempo, o que contribui para que a diferença entre os tempos medidos na nave e na Terra seja ainda maior. O experimento realizado no filme não é a emissão de um feixe de luz, mas sim o tempo biológico das pessoas, e as reações que levam ao envelhecimento das células.

Portanto, Cooper envelhece muito mais lentamente do que Murph, sua filha, pois ele está na nave espacial movendo-se muito rápido e durante um longo período de tempo.

A dilatação do tempo é um efeito já comprovado experimentalmente, e não há dúvidas quanto a sua existência (o artigo indicado na bibliografia mostra muito claramente isso; recomendo aos interessados). O filme explora bem este efeito, talvez exagerando um pouco sua intensidade.

A motivação para o desenvolvimento da teoria da relatividade geral foi levar em conta efeitos relativísticos em sistemas não inerciais, ou seja, sistemas com velocidades variáveis em relação a outros sistemas, além do fato de levar em conta a existência de campos gravitacionais. Vamos introduzir estas ideias e mostrar algumas de suas consequências apresentadas em Interestelar no próximo texto. 

Bibliografia:

Teoria da Relatividade Especial, R. Gazzinelli, Ed. Blucher – 2009.

Demonstração experimental da dilatação do tempo e da contração do espaço dos múons da radiação cósmica. Revista Brasileira de Ensino de Física (RBEF), v. 29, n. 4, pag. 585-591. Endereço online: http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/061005.pdf

Explicando a Física por trás do filme Interestelar - Parte I

Buracos negros, buracos de minhocas, viagens no tempo e dilatação temporal. Estes são alguns fenômenos físicos que fazem parte do filme Interestelar, estreado recentemente nos cinemas. O filme é espetacular em efeitos especiais. No entanto, os conceitos físicos por trás destes fenômenos em geral não são claros para todo o público que assistiu ao filme. Este texto tem o objetivo justamente de apresentar os principais conceitos que podem implicar a existência dos fenômenos explorados em Interestelar.

Os fenômenos apresentados no filme são implicações inteiramente da teoria da relatividade especial (TRE - 1905) e da teoria da relatividade geral (TRG - 1915), ambas desenvolvidas pelo físico alemão Albert Einstein. A primeira foi desenvolvida com base em dois postulados e leva o termo “especial” por se limitar a sistemas físicos inerciais, ou seja, sistemas físicos que se movimentam com velocidade nula ou constante um em relação ao outro.

Antes de falarmos a respeito dos postulados da TRE, precisamos mostrar a necessidade básica de se formular esta nova teoria. Antes de 1905, os físicos entendiam o espaço como estando em repouso absoluto, ou seja, poderíamos sempre dizer que nosso carro está a 100 Km/h, por exemplo, em relação a um ponto do espaço, pois este estaria sempre em repouso. Este conceito de espaço é muito antigo, sendo que toda mecânica de Galileu e Newton se baseia neste princípio. Assumia-se, além disso, que as leis da física deveriam valer para qualquer ponto do universo, independentemente do estado de movimento do observador em relação ao sistema físico. Tal consideração é o que permite afirmarmos que um fenômeno realizado, por exemplo, no Brasil, apresente o mesmo resultado quando realizado no Japão ou em qualquer outro ponto do universo. O conjunto de equações que nos permite sair de um sistema inercial para outro na mecânica newtoniana é chamado transformações de Galileu. O exemplo mais simples disso é quando estamos andando dentro de um vagão de trem em movimento. Ambos somos sistemas inerciais, e nossa velocidade em relação a alguém parado fora do trem é nossa velocidade em relação ao trem mais a velocidade do trem em relação ao trilho.

Por outro lado, Maxwell, em meados do século XIX, formulou sua teoria eletromagnética que explicava fenômenos elétricos e magnéticos conhecidos. A teoria completa pode ser resumida em quatro equações, conhecidas como equações de Maxwell.  Nestas equações estão incluídos os campos elétricos e magnéticos, correntes elétricas, e o fato de que a luz é uma onda, formada por campos elétricos e magnéticos que se propagam no espaço. O problema surge quando tentamos sair de um sistema inercial para outro em um sistema eletromagnético. Usando as transformações de Galileu nas equações de Maxwell, estas últimas não permanecem as mesmas nos dois sistemas inerciais diferentes, o que implica em situações físicas diferentes. Dizemos então que as equações de Maxwell não são invariantes perante as transformações de Galileu. Portanto, as transformações que nos levavam de um sistema inercial para outro na mecânica não funcionava no eletromagnetismo.

O ponto principal que originou a TER foi abolir a ideia de espaço em repouso absoluto. Além disso, Einstein manteve o importante princípio de que as leis de toda a física (e não apenas a mecânica) deveriam ser as mesmas para qualquer sistema inercial. Considerando estas coisas, ele fez dois postulados:

1)     Postulado da relatividade:

As leis da física tem a mesma forma em todos os referenciais inerciais;

2)     Postulado da constância da velocidade da luz:

A velocidade da luz é independente do movimento de sua fonte.

Vemos que o primeiro postulado é uma reafirmação do que já era conhecido da mecânica de Galileu e Newton, mas agora expandido para toda a física, e não apenas a mecânica. O segundo postulado implica necessariamente a perda de um referencial em repouso absoluto, pois é a única forma de termos a velocidade da luz com a mesma velocidade em todos os referenciais.

Note a relevância do segundo postulado. Ele diz que, se tivermos um emissor de laser no vácuo a 100Km/h e este emitir um feixe de luz, a velocidade para alguém em repouso em relação ao emissor não será c (a velocidade da luz no vácuo) mais 100Km/h. Ela será de fato c. Ou seja, por mais rápido que a fonte de luz esteja, a velocidade da luz sempre será c, para todos os referencias inerciais.

Vimos aqui uma breve abordagem histórica da motivação principal que levou a construção da teoria da relatividade especial, e a principal quebra de paradigma entre as épocas pré e pós-TRE, ou seja, a perda do espaço em repouso absoluto. No próximo texto veremos algumas consequências destes dois postulados no que diz respeito ao filme Interestelar e abordaremos os pontos principais que levaram a elaboração da teoria da relatividade geral, em 1915.

Bibliografia:

Teoria da Relatividade Especial, R. Gazzinelli, Ed. Blucher – 2009.